斯托克斯定律

不需求微分流形,只需求知道外微分形式即可。当然,外微分在微分盛行中也是很重要的一个研讨办法。

在多元函数中,每个变量的一级微分叫做一级外微分,记做dx,dy,dz.别离代表沿变量方向改变的无量小量。各级微分形式都能够线性相加,各自构成一个线性空间。一级微分构成的空间便是切向量空间。斯托克斯规律高一级的微分形式由低一级的微分形式与一级微分形式做外乘得到。外乘又名楔积,记为^。满意线性和反交换性。之所以要界说线性和反交换的乘积是由平行多面体的体积与各边的联系来的。平行多面体的体积对各边的依靠联系满意线性和反交换性。因而,每一级的外微分都相当于对应维数下的某种细小体积。

有了外微分的概念,斯托克斯规律与任何细小体积有关的量就简单界说了。散度是流从某细小的关闭鸿沟流出的衡量。鸿沟的维数是n-1,因而散度相当于对一个m=n-1维的微分形式做外微分得到m=n的外微分。散度的单位带有体积的倒数。斯托克斯规律流自身是向量,原本仅仅一级外微分对时间的导数。要由一级外微分为m=n-1的外微分,需求界说一个共轭改换。常用*表明。因而散度为d^/dt

同理,依据旋度是旋涡的测量,旋涡是一种二维的结构,因而旋度便是速度的外导数。仅仅在三维情况下,m=2才和m=1的外微分有共轭联系,能够当作向量。

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